Die Herleitung der Formel

Die Berechnung von Wochentagen ist relativ einfach — viel einfacher, als die meisten Menschen denken würden. Aber warum? Was ist die Mathematik hinter der Kalenderrechnen? Darum soll es in diesem Beitrag gehen.

Grundlage: Die Rest-Operation und ihre Rechenregeln

Zur Wochentagsberechnung werden zunächst einige Teilergebnisse ausgerechnet, diese summiert und von der Summe der 7er-Rest bestimmt. Der 7er-Rest einer Zahl ist immer eine Zahl zwischen 0 und 7. Jedem 7er-Rest ist ein Wochentag zugeordnet, also 0=Samstag, 1=Sonntag, bis 6=Freitag.

Wie bei anderen mathematischen Operationen wie Plus und Mal, gibt es bei der Rest-Operation einige Gesetzmäßigkeiten. Du musst diese Regeln nicht auswendig lernen, solltest dir aber genügend Zeit lassen, um sie zu verstehen.

Die wichtigste Regel: Das Addieren oder Subtrahieren von Vielfachen des Teilers ändert den Rest nicht.

Verdeutlicht an einem Beispiel:

7er-Rest von 20 = 6 (da 20 / 7 = 2 Rest 6),
7er-Rest von (20-7) = 6 (da 13 / 7 = 1 Rest 6),
7er-Rest von (20+7) = 6 (da 27 / 7 = 3 Rest 6).

Per Definition soll dies auch für negative Zahlen gelten:

7erRest von -4 = 7er-Rest von (-4+7) = 7er-Rest von 3 = 3.

Aus dieser Rechenregel ergibt sich, dass die Modulo-Operation auch auf Summanden einzeln angewendet werden kann:

7er-Rest von (20-5) = 7er-Rest von 15 = 1,
7er-Rest von (20-5) = (7er-Rest von 20) – (7er-Rest von 5) = 7er-Rest von (6-5) = 7er-Rest von 1 = 1,
7er-Rest von (20+10) = (7er-Rest von 20) + (7er-Rest von 10) = 7er-Rest von (6+3) = 7er-Rest von 9 = 2.

Mit diesem Verständnis ist es leicht zu verstehen, wie die Teilergebnisse der Wochentagsformel zustande kommen.

Von einem Tag zum anderen

Eine einfache Feststellung: Wenn das Datum um einen Tag weiterläuft, läuft auch der Wochentag um einen Tag weiter. Das Weitergehen von einem Tag zum nächsten innerhalb eines Monats wird in der Wochentagsformel berücksichtigt, indem der Wert für TT zum nächsten Tag um eins erhöht wird.

Einen Monat weiter

Doch was passiert von einem Monat auf den anderen?

Das kommt auf die Anzahl der Tage im Monat an, genauer gesagt, auf den 7er-Rest dieser Anzahl. Dass der Monatswert für Januar in Schritt 2 der Wochentagsformel 1 ist, wurde einfach festgelegt. Der Januar besteht aus 4 Wochen und 3 Tagen; folglich muss der 1. Februar drei Wochentage „später“ sein als der 1. Januar. Der Wert für Februar ist damit der Wert für Januar plus 3. Mit dieser Rechnung gelangt man von einem Monat von nächsten. Zum Auswendiglernen der Monatswerte gibt es diese Eselsbrücke.

Ein Jahr weiter

Die Kennziffer für das nächste Jahr wird auf eine ähnliche Art und Weise bestimmt wie die Kennziffer des nächsten Monats. Der 7er-Rest von 365 ist 1, im Falle eines Schaltjahres ist der 7er-Rest von 366 gleich 2. Mit dieser Rechnung kann von einem Jahr auf das nächste Jahr geschlossen werden.

Um die Rechnung zu vereinfachen, können bestimmte Abfolgen von Jahren zusammengefasst werden:

Zwölf aufeinanderfolgende Jahre bestehen genau aus drei Schaltjahren und neun regulären Jahren, also 3*2 + 9*1 = 15; 7er-Rest von 15 = 1. Für einen 12er-Schritt kann man also „plus 1“ rechnen. Wenn das Jahr (xxJJ) nicht restlos durch 12 teilbar ist, werden für die verbleibenden, regulären Jahre je 1 addiert, für alle verbleibenden Schaltjahre je 2.

In dieser Rechnung sind Schaltjahre immer berücksichtigt, auch wenn der Schalttag in dem Jahr noch gar nicht stattgefunden hat. Für alle Daten vor dem 29.02. in einem Schaltjahr muss folglich 1 wieder abgezogen werden, um diesen Fehler auszugleichen. Dies musst du folglich immer dann tun, wenn das Jahr ein Schaltjahr ist und der Monat Januar oder Februar.

Das nächste Jahrhundert

Dieser Schritt wird genau gleich wie die vorherigen Schritte hergeleitet. Der Unterschied zwischen dem julianischen und dem gregorianischen Kalender entsteht durch eine Änderung der Schaltjahres-Regel.

Die „anderen“ Parameter in der Wochentagsformel

In der Formel werden einige Werte festgelegt, z. B. die Zuordnung Januar=1, Samstag=0, 1900=0 etc. Diese Festlegung ist beliebig und könnte auch anders erfolgen, z.B. mit Januar=0 und Freitag=0, und die berechneten Wochentage würden trotzdem stimmen. Da die Formel im 20. Jahrhundert entwickelt wurde, war es naheliegend dem Jahr 1900 das Teilergebnis 0 zuzuordnen, um schneller rechnen zu können. Die Monatswerte 144-025-036-146 ergeben eine einfach einzuprägende Eselsbrücke. Die Zuordnung von Samstag auf das Ergebnis 0 ist damit die logische Folge der ersten beiden Definitionen.

Jetzt bist du gefragt

Die Gesetzmäßigkeiten der Rest-Operation erlauben dir, die Rechenschritte im Kalenderrechnen zu optimieren, ihre Reihenfolge zu ändern etc. Setze deine Kreativität ein und beschäftige dich mit den Turbo-Boosts, um mehr zu erfahren.

Mich interessiert deine Meinung: Hättest du gedacht, dass die Mathematik im Kalenderrechnen tatsächlich so simpel ist?

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